《“割补法”在勾股定理中的应用》· 庞燕

《“割补法”在勾股定理中的应用》

原平市实验中学   庞燕

【案例背景】

1、数学教学的首要问题，不在于教学的方式是什么，而在于所教内容的数学本质是什么 ，　而数学本质是什么呢?众口不一，比较被大家认可的是北京师范大学的刘烟宙教授的说法：一、对数学基本概念的把握;二、对数学思想的理解;三、对数学思维方式的鉴赏;四、对数学之美的感悟。基于此，我们不断反思新课改后的课堂教学行为。

2、如何在课堂教学中凸显数学本质呢?，新课程标准给了我们答案。

　　(1)针对具体数学知识的教学，知道知识本源和蕴含在知识背后的数学思想方法。深入挖掘教材，教材的编排蕴含了知识的本源和思想方法。

(2)知识是中介，方法是基础，思想才是本源。有了思想，知识与方法才能升华。数学是能够增长学生智慧的学科，我们只要抓住数学本质，与新课程理念相结合，才能发挥数学的最大价值，凸显数学本色，这样做就是使数学课回归数学本质。

3、《勾股定理的证明》是教学中的重难点，教材处理的好坏与否直接影响课堂教学的效果。我们应让学生了解勾股定理的发现过程，会用“割补法”证明勾股定理，培养他们在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

【案例描述】

在此次教学过程中，我们在进行《勾股定理的证明》这一教学内容设计时，我尝试了两种不同的教学方法。

教法一：动手操作                                                                                 

这个问题好上手，但是没有特别严谨的证明过程，本身使部分学生感到比较难理解，而且作为一种特定边长的直角三角形，难以推广到一般三角形。因此，后来我们没有采用这种教学设计。

　 教法二：以“数形结合”为引领，大胆利用教材的呈现模式，切合学生实际清晰教学思路。

以课本23页探究内容为例，让学生体会割补法在勾股定理证明中的应用：

首先让学生观察第一幅图，每个小方格的面积均为1, 让同学们试着分别算出图中正方形A, B, C. A', B', C'的面积, 看看能得出什么结论。

我本以为有了22页思考题（等腰直角三角形的三边关系）的铺垫及课本提示(以斜边为边长的正方形的面积, 等于某个正方形的面积减去4个直角三 角形的面积.)，对孩子们来说这道题应该驾轻就熟，可是孩子们在整个的求解过程中还是困难重重，下面是这个教学片断的师生对话：

师：这个问题我们能否用之前的方法(数形结合)来解决。

生：可以利用切割的方法。(部分学生回答)

师：很好，若要切割的话，我们首先弄清楚什么?

生： 哪些正方形需要切割，哪些不需要(部分学生回答)

师：如何判断？

生：六个正方形中被小正方形完整的填满的就不用切割，否则需要(个别学生回答)

师：请同学在图二中举例回答（点名回答）

生：图2中大正方形C´被分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形

师：能切割的还有哪些图形？（点名回答）

生：正方形C

师：然后呢？

生：求出面积以后就可利用等面积法得到直角三角形的三边关系

这个“割法”的使用，让学生明白切割图形的方便性。这样处理的好处是：既分解了本节课的难点，又为利用“数形结合”解决例题埋下了伏笔，所以我乘胜追击，又给同学们补充了“补法”，在图2中，我将正方形C与C´框在如图所示大正方形中，只要将大正方形的面积减去四个直角三角形的面积及所求。

【案例分析与反思】

　 教法一只是按照教材规定的内容进行教学，教学方法也比较传统，教学过程侧重于知识的落实，学生虽然参与了学习，但学习热情较为低落。可以说，教师基本上是在“教教材”，缺乏数学本质的体现。而教法二中，以数学思想为主线，设置问题串，让学生在不断的演练中体会到“数形结合”的优越性。